Question

7．设-$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{π}{2}$，且方程cos2x-4acosx-a+2=0有两个不同的解，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 设t=cosx，则t∈[0，1]，由题意可得，关于t的方程 2t²-4at+1-a=0在（0，1）上有唯一解，或t=0，故有①f（0）f（1）＜0，或②若$\left\{\begin{array}{l}{△=16{a}^{2}+8a-8=0}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，或③t=0，分别求出实数a的取值范围，再取并集，即得所求．

解答 解：于x的方程cos2x-4acosx-a+2=0 即 2cos²x-4acosx+1-a=0．
由于x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，故 cosx∈[0，1]，设t=cosx，则t∈[0，1]，2t²-4at+1-a=0．
由于（0，1）内的一个t值对应了（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）内的2个x值，
则由题意可得，关于t的方程f（t）=2t²-4at+1-a=0在（0，1）上有唯一解，或t=0．
①若f（0）f（1）=（1-a）（3-5a）＜0，解得 $\frac{3}{5}$＜a＜1．
②若 $\left\{\begin{array}{l}{△=16{a}^{2}+8a-8=0}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，则解得a=$\frac{1}{2}$．
③若t=0，则由 2t²-4at+1-a=0可得 a=1．
综上，可得实数a的取值范围是{a|$\frac{3}{5}$＜a≤1，或 a=$\frac{1}{2}$}．

点评 本题考查同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．