Question

15．已知函数f（x）=-2x²+22x，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n（n，S_n）（n∈N₊）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；
（2）存在k∈N₊，使得$\frac{S_1}{1}+\frac{S_2}{2}+…+\frac{S_n}{n}＜k$对任意n∈N^*恒成立，求出k的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过将点P_n（n，S_n）（n∈N₊）代入f（x）=-2x²+22x可知数列{a_n}的前n项和S_n=-2n²+22n，利用a_n+1=S_n+1-S_n可知a_n+1=-4（n+1）+24，进而可知数列{a_n}的通项公式a_n=-4n+24；
（2）通过S_n=-2n²+22n可知$\frac{{S}_{n}}{n}$=-2n+22，进而可知$\frac{{S}_{1}}{1}$+$\frac{{S}_{2}}{2}$+…+$\frac{{S}_{11}}{11}$＜k，进而计算可得结论．

解答 解：（1）∵点P_n（n，S_n）（n∈N₊）均在函数y=f（x）=-2x²+22x的图象上，
∴数列{a_n}的前n项和S_n=-2n²+22n，
∴a_n+1=S_n+1-S_n
=-2（n+1）²+22（n+1）+2n²-22n
=-4n+20
=-4（n+1）+24，
又∵a₁=-2+22=20满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=-4n+24；
（2）∵S_n=-2n²+22n，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=-2n+22，
∴当n=11时$\frac{{S}_{n}}{n}$=0，当n＞11时$\frac{{S}_{n}}{n}$＜0，当n＜11时$\frac{{S}_{n}}{n}$＞0，
又∵$\frac{{S}_{1}}{1}$+$\frac{{S}_{2}}{2}$+…+$\frac{{S}_{11}}{11}$=-2（1+2+…+11）+22×11
=-2×$\frac{11×12}{2}$+22×11
=110，
∴k的最小值为111．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．