Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=2，AB=2DC，AB∥DC，∠BCD=90°．
（Ⅰ）求证：PC⊥BC；
（Ⅱ）求多面体A-PBC的体积．

Answer 1

分析：（I）先由线面垂直的定义证明PD⊥BC，再由线面垂直的判定定理证明BC⊥平面PCD，从而证明结论；（II）先将所求三棱锥看做以三角形ABC为底的三棱锥，进而利用已知数据和线面关系，利用三棱锥的体积计算公式计算即可

解答：解：（I）证明：∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD
∴PD⊥BC，∵∠BCD=90°
∴CD⊥BC，BC∩CD=C
∴BC⊥平面PCD，又PC?平面PCD
∴PC⊥BC
（II）连接AC，∵PD⊥平面ABCD
∴V_A-PBC=V_P-ABC=

1

3

×S_△ABC×PD
∵AB∥DC，，∠BCD=90°
∴△ABC为直角三角形，且∠B=90°
∵PD=DC=BC=2，AB=2DC
∴V_A-PBC=V_P-ABC=

1

3

×S_△ABC×PD=

1

3

×

1

2

×4×2×2=

8

3

∴多面体A-PBC的体积为

8

3

点评：本题考查了空间几何体中的线面关系，三棱锥的体积计算公式和计算方法，线面垂直的定义和线面垂直的判定定理的运用，空间想象能力和计算能力