本试题主要是考查了数列的归纳猜想的思想的运用,以及运用哦递推关系式来求解数列的前几项,并且能运用数学归纳法加以证明,同时对于构造的新数列也能利用裂项法求和的综合运用。
(1)利用递推关系,对于n赋值分别得到前几项,并猜想其通项公式,运用数学归纳法加以证明
(2)根据上一问的结论,表示新数列的通项公式,然后利用裂项的思想求和并证明不等式问题。
解:(1)容易求得:
,
----------------------(2分)
故可以猜想
,
下面利用数学归纳法加以证明:
(i) 显然当
时,结论成立,-----------------(3分)
(ii) 假设当
;
时(也可以
),结论也成立,即
,
--------------------------(4分)
那么当
时,由题设与归纳假设可知:
------------(6分)
即当
时,结论也成立,综上,对
,
成立。--------(7分)
(2)
---(9分)
所以
---------(11分)
所以只需要证明
(显然成立)
所以对任意的自然数
,都有
-------(14分)