精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
若以椭圆的四个顶点为顶点的菱形的内切圆过椭圆的焦点,则椭圆的离心率为(  )
A、
3-
5
2
B、
5
-1
2
C、
3
-1
2
D、
2
-1
2
分析:根据题意,椭圆的右顶点与上顶点确定的直线到椭圆的中心O的距离等于半焦距,因此求出该直线方程,利用点到直线的距离公式建立关于a、b、c的等式,结合b2=a2-c2化简整理出关于离心率e的方程,解之可得答案.
解答:解:根据题意,设椭圆的四个顶点构成的菱形为ABCD,
设点A(a,0),B(0,b),可得直线AB的方程为:
x
a
+
y
b
=1
,即bx+ay-ab=0
∵菱形ABCD的内切圆恰好过焦点,
∴原点O到直线AB的距离等于半焦距,即
|-ab|
b2+a2
=c

两边平方,整理得a2b2=c2(a2+b2).
∵b2=a2-c2
∴a2(a2-c2)=c2(2a2-c2),化简得a4-3a2c2+c4=0,
两边都除以a4,得(
c
a
)
4
-3(
c
a
)2+1=0
,即e4-3e2+1=0
解之得e2=
5
2

∵0<e<1,∴e2=
3-
5
2
=(
5
-1
2
)2
,可得e=
5
-1
2

故选:B.
点评:本题给出椭圆满足的条件,求它的离心率.着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式和椭圆的标准方程与简单几何性质等知识,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
中,F1,F2为其左、右焦点,以F1F2为直径的圆与椭圆交于A,B,C,D四个点,若F1,F2,A,B,C,D恰好为一个正六边形的六个顶点,则椭圆的离心率为(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

我们称离心率e=
5
-1
2
的椭圆叫做“黄金椭圆”,若
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)
为黄金椭圆,以下四个命题:
(1)长半轴长a,短半轴长b,半焦距c成等比数列.
(2)一个长轴顶点与其不同侧的焦点以及一个短轴顶点构成直角三角形.
(3)以两条通经的4个端点为顶点的四边形为正方形.
(4)P、Q为椭圆上任意两点,M为PQ中点,只要PQ与OM的斜率存在,必有kPQ•kOM的定值.
其中正确命题的序号为
(1)(2)(3)(4)
(1)(2)(3)(4)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图所示,已知椭圆M:
y2
a2
+
x2
b2
=1
(a>b>0)的四个顶点构成边长为5的菱形,原点O到直线AB的距离为
12
5
,其A(0,a),B(-b,0).直线l:x=my+n与椭圆M相交于C,D两点,且以CD为直径的圆过椭圆的右顶点P(其中点C,D与点P不重合).
(1)求椭圆M的方程;
(2)试判断直线l与x轴是否交于定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(本小题满分14分)已知圆和椭圆,直线

相切且与椭圆交于A.B两点,

(Ⅰ)若OA⊥OB,求证:

   (Ⅱ)若直线变化时,以OA.OB为邻边的平行四边形的第四个顶点为P,求的最大值和最小值.

 

查看答案和解析>>

同步练习册答案