Question

（2012•海口模拟）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a-1
（1）当a=1，解不等式f（x）≥g（x）；
（2）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先写出当a=1时的不等式|2x+1|≥|x|，再利用两边平方整理化成一元二次不等式即可解决问题；
（2）先由f（x）≤g（x）分离出参数a得a-1≥|2x+1|-|x|，令h（x）=|2x+1|-|x|，下面求得h（x）的最小值，从而所求实数a的范围．

解答：解：（1）当a=1时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥|x|，
两边平方整理得3x²+4x+1≥0，解得x≤-1或x≥-

1

3

，
∴原不等式的解集为（-∞，-1]∪[-

1

3

，+∞）…（5分）
（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a-1≥|2x+1|-|x|，
令h（x）=|2x+1|-|x|，则 h（x）=

-x-1，x≤- 1 2 3x+1，- 1 2 ＜x＜0 x+1，x≥0

…（7分）
故h（x）min=h（-

1

2

）=-

1

2

，从而所求实数a的范围为a-1≥-

1

2

，即a≥

1

2

…（10分）

点评：本题主要考查了绝对值不等式的解法、函数存在性问题．对于函数存在性问题，处理的方法是：利用分离参数法转化为求函数的最值问题解决．