Question

（2011•江苏二模）选答题：本大题共四小题，请从这4题中选作2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A、选修4-1：
几何证明选讲．如图，圆O的直径AB=4，C为圆周上一点，BC=2，过C作圆O的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆O交于点D，E，求∠DAC的度数与线段AE的长．
B、选修4-2：矩阵变换
求圆C：x²+y²=4在矩阵A=[

2 0 0 1

]的变换作用下的曲线方程．
C、选修4-4：坐标系与参数方程
若两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ=2sinθ，它们相交于A、B两点，求线段AB的长．
D、选修4-5：不等式选讲
已知a、b、c为正数，且满足acos²θ+bsin²θ＜c．求证：

a

cos²θ+

b

sin²θ＜

c

．

Answer 1

分析：A：先利用弦切角定理求得∠DCA=60°，从而解直角三角形得∠DAC的度数，最后证明△AOE为等边三角形从而求得线段AE的长；B：设P（x，y）是圆C：x²+y²=4上的任意一点，P′（x′，y′）是P（x，y）在矩阵A=[

2 0 0 1

]的对应变换作用下新曲线上的对应点，则由矩阵的运算性质得点P和点P′坐标间的关系，代入P点轨迹即可得所求曲线方程；C：先将已知曲线方程联立，得交点的极坐标，在利用极坐标的定义，在三角形中通过解三角形求得AB的长；D：由柯西不等式定理直接证明即可

解答：解；A：如图，在Rt△ABC中，AB=2BC，∴∠ABC=60°，
由于l为过C的切线，∠DCA=∠CBA，∴∠DCA=60°，
又∵AD⊥DC，得∠DAC=30°．
那么在△AOE中，∠EAO=∠DAC+∠CAB=60°，OE=OA，
∴AE=AO=

1

2

AB=2
B：设P（x，y）是圆C：x²+y²=4上的任意一点，
设P′（x′，y′）是P（x，y）在矩阵A=[

2 0 0 1

]的对应变换作用下新曲线上的对应点，
则[

x′   y′

]=[

2 0 0 1

][

x   y

]=[

2x   y

]，
即

x′=2x y′=y

，代入x²+y²=4得

x′2

4

+y′2=4
∴曲线方程为

x2

16

+

y2

4

=1
C：解：由ρ=1与ρ=2sinθ，得2sinθ=1
θ=

π

6

或θ=

5π

6

∴A、B的极坐标为A（1，

π

6

），（1，

5π

6

）
在△AOB中，OA=OB=1，∠AOB=

2π

3

∴AB=

3

D：证明：由柯西不等式可得

a

cos²θ+

b

sin²θ≤[（

a

cosθ）²+（

b

sinθ）²]^0.5（cos²θ+sin²θ）^0.5
=

acos 2θ+bsin 2θ

＜

c

点评：本题综合考查了平面几何证明，直线与圆的性质定理，矩阵变换和矩阵运算，极坐标系及其与直角坐标系的互化，利用柯西不等式证明不等式的方法