Question

如图：已知△PAB所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且PA=PB=AB，∠ABC=60°，E为AB的中点．   
（Ⅰ）证明：CE⊥PA；
（Ⅱ）若F为线段PD上的点，且EF与平面PEC的夹角为45°，求平面EFC与平面PBC夹角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先证明CE⊥平面PAB，再证明CE⊥PA；
（II）以E为坐标原点，EB，EC，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面EFC的法向量、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面EFC与平面PBC夹角的余弦值．
解答：（Ⅰ）证明：在菱形ABCD中，∵∠ABC=60°
∴△ABC为正三角形，
又∵E为AB的中点
∴CE⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，AB为平面PAB与平面ABCD的交线，
∴CE⊥平面PAB，
又∵PA?平面PAB
∴CE⊥PA…（4分）
（Ⅱ）解：∵PA=PB，E为AB的中点，
∴PE⊥AB，
又∵PE⊥CE，AB∩CE=E
∴PE⊥平面ABCD，
以E为坐标原点，EB，EC，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示
设AB=2，则PA=PB=，EP=EA=EB=1，EC=，
∴E（0，0，0），B（1，0，0，），C（0，，0），P（0，0，1），D（-2，，0）
设，其中0≤k≤1，则，
∵为平面PEC的法向量，
∴，得k=，
即F是PD的中点，∴F（-1，，）…（9分）
设为平面EFC的法向量，则
 令z=2，得x=1，取，
设为平面PBC的法向量，则 得出
令z₁=1，得，取，
设平面EFC与平面PBC夹角为θ，则cosθ=|cos（）|==…（12分）
点评：本题考查线面垂直、线线垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．