Question

【题目】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t是参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．

（Ⅰ）写出直线l的普通方程、曲线C的参数方程；

（Ⅱ）过曲线C上任意一点A作与直线l的夹角为45°的直线，设该直线与直线l交于点B，求的最值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）直线的普通方程、曲线C的参数方程 （是参数）；（Ⅱ）的最大值为6，最小值为2．

【解析】

（1）消去参数后可得直线的普通方程，利用两角差的余弦公式及得直角方程后可得曲线的参数方程．

（2）先计算圆心到直线的距离的最大值和最小值，从而得到圆上的动点到直线的距离的最大值和最小值，所求的的最大值与最小值时前者的的倍．

（1）直线的普通方程为．

，故，

从而，圆的标准方程为，

其参数方程为 （为参数）．

（2）考虑点圆心到直线的距离为，故圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为，因直线的倾斜角为，故是圆上的点到直线的距离的的倍，所以的最大值为，最小值为．