Question

已知函数f(x)=1+sinxcosx，g(x)=cos2(x+

π

12

)
（1）设x=x₀是函数y=f（x）的图象上一条对称轴，求g(

x

0

)的值．
（2）求使函数h(x)=f(

ωx

2

)+g(

ωx

2

)，(ω＞0)，在区间[-

2π

3

，

π

3

]上是增函数的ω的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根据二倍角公式化简函数f（x）结合正弦函数的对称轴求出其对称轴方程，再代入函数g（x）即可得到结论；
（2）先根据诱导公式以及辅助角公式求出函数h（x）的表达式，再结合余弦函数的单调区间即可得到答案．

解答：解：（1）因为：f（x）=1+sinxcosx=1+

1

2

sin2x，
其对称轴：2x=kπ+

π

2

⇒x=

kπ

2

+

π

4

．
而g（x）=cos²（x+

π

12

）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

．
把x=

kπ

2

+

π

4

代入得g（x）=

1+cos(kπ+ π 2 + π 6 )

2

=

1-sin π 6

2

=

1- 1 2

1 2

=

1

4

．
（2）因为：h（x）=f（

ωx

2

）+g（

ωx

2

）
=1+

1

2

sinωx+

1+cos(ωx+ π 6 )

2

=

3

2

+

1

2

sinωx+

1

2

cos（ωx+

π

6

）
=

3

2

+

1

2

sinωx+

1

2

（

3

2

×cosωx-

1

2

sinωx）
=

3

2

+

1

2

（

3

2

cosωx+

1

2

sinωx）
=

3

2

+

1

2

cos（ωx-

π

6

）．
当x∈[-

2π

3

，

π

3

]时，ωx-

π

6

∈[-

2ωπ

3

-

π

6

，

ωπ

3

-

π

6

]．
因为函数在区间[-

2π

3

，

π

3

]上是增函数
所以须有-

2ωπ

3

-

π

6

≥-π且

ωπ

3

-

π

6

≤0；
解得：ω≤

5

4

且ω≤

1

2

．
故ω的最大值为：

1

2

．

点评：本题主要考查三角公式的应用．解决这类问题的关键在于对公式的熟练掌握以及灵活运用．