Question

已知函数，f（x）=x²，g（x）=2eln（x＞0）（e为自然对数的底数），它们的导数分别为f′（x）、g′（x）．
（1）当x＞0时，求证：f′（x）+g′（x）≥4

e

；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）（x＞0）的单调区间及最小值．

Answer 1

分析：（1）分别求出f′（x）、g′（x），然后利用基本不等式可证得结论；
（2）先求F′（x），然后利用导数符号确定函数的单调性，再根据单调性可得函数的最值．

解答：解：（1）∵x＞0，f′（x）=2x，g′（x）=

2e

x

，
∴f′（x）+g′（x）=2（x+

e

x

）≥2×2

e

=4

e

，
当且仅当x=

e

x

，即x=

e

时，等号成立．
∴f′（x）+g′（x）≥4

e

（2）F′（x）=f′（x）-g′（x）=2（x-

e

x

）=

2(x2-e)

x

（x＞0），
令F′（x）=0，得x=

e

（x=-

e

舍），
∴当0＜x＜

e

时，F′（x）＜0，F（x）在（0，

e

）上单调递减；
当x＞

e

时，F′（x）＞0，F（x）在（

e

，+∞）上单调递增．
∴当x=

e

时，F（x）有极小值，也是最小值，即F（x）min=F（

e

）=e-2eln

e

=0．
∴F（x）的单调递增区间为（

e

，+∞），单调递减区间为（0，

e

），最小值为0．

点评：本题主要考查了基本不等式，以及利用导数研究函数的单调性和最值，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．