已知函数,.
(1)若函数在其定义域上为增函数,求的取值范围;
(2)当时,函数在区间上存在极值,求的最大值.
(参考数值:自然对数的底数≈).
(1);(2).
解析试题分析:(1)解法1是将函数在其定义域上为增函数等价转化为不等式在区间上恒成立,利用参数分离法得到不等式在上恒成立,并利用基本不等式求出的最小值,从而求出的取值范围;解法2是求得导数,将问题等价转化为不等式在上恒成立,结合二次函数零点分布的知识求出的取值范围;(2)先将代入函数的解析式并求出的导数,构造新函数,利用导数研究函数的单调性,结合零点存在定理找出函数的极值点所存在的区间,结合条件确定的最大值.
试题解析:(1)解法1:函数的定义域为,
,.
函数在上单调递增,
,即对都成立.
对都成立.
当时,,当且仅当,即时,取等号.
,即,的取值范围为.
解法2:函数的定义域为,
,.
方程的判别式.
①当,即时,,
此时,对都成立,
故函数在定义域上是增函数.
②当,即或时,要使函数在定义域上为增函数,
只需对都成立.
设,则,得.
故.
综合①②得的取值范围为;
(2)当时,.
.
函数在上存在极值,
∴方程在
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某水产养殖场拟造一个无盖的长方体水产养殖网箱,为了避免混养,箱中要安装一些筛网,其平面图如下,如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米56元,筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米48元,网箱底面面积为160平方米,建造单价为每平方米50元,网衣及筛网的厚度忽略不计.
(1)把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(米)的函数,并求出最低造价;
(2)若要求网箱的长不超过15米,宽不超过12米,则当网箱的长和宽各为多少米时,可使总造价最低?(结果精确到0.01米)
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数,.
(1)求的单调区间和最小值;
(2)讨论与的大小关系;
(3)是否存在x0>0,使得|g(x)﹣g(x0)|<对任意x>0成立?若存在,求出x0的取值范围;若不存在请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(满分12分)已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若函数在区间上为减函数,求实数的取值范围;
(3)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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