Question

在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）。将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连结A₁B、A₁P（如图2）。

（1）求证：A₁E⊥平面BEP；
（2）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小；
（3）求二面角B-A₁P-F的大小（用反三角函数表示）。

Answer 1

解：不妨设正三角形ABC的边长为3。 （1）在图1中，取BE的中点D，连结DF。 ∵AE：EB=CF：FA=1：2， ∵AF=AD=2，而∠A=60°， ∴△ADF是正三角形。 又AE=DE=1， ∴EF⊥AD 在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF， ∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角。 由题设条件知此二面角为直二面角， ∴A1E⊥BE。 又BE∩EF=E， ∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP。 （2）在图2中，∵A1E不垂直于A1B， ∴A1E是平面A1BP的斜线。 又A1E⊥平面BEP， ∴A1E⊥BP， 从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）。 设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于点Q， 则∠EA1Q就是A1E与平面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q。 在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60°， ∴△EBP是等边三角形， ∴BE=EP 又A1E⊥平面BEP， ∴A1B=A1P， ∴Q为BP的中点，且。 又A1E=1， 在Rt△A1EQ中， ∴∠EA1Q=60° 所以直线A1E与平面A1BP所成的角为60°。

（3）在图3中，过F作FM⊥A1P于M，连结QM，QF。 ∵CF=CP=1，∠C=60°， ∴△FCP是正三角形， ∴PF=1 又 ∴PF=PQ。 ① ∵A1E⊥平面BEP， ∴A1F=A1Q； ∴△A1FP≌△A1QP 从而∠A1PF=∠A1PQ ② 由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP， ∴∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ， 从而∠FMQ为二面角B-A1P-F的平面角。 在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1， ∴ ∵MQ⊥A1P ∴ ∴ 在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60°， 由余弦定理得QF=。 在△FMQ中 ∴二面角B-A1P-F的大小为。