Question

关于函数f（x）=-2sin²x+sin2x+1，给出下列四个命题：
①f（x）在区间[

π

8

，

5

8

π]上是减函数；
②直线x=

π

8

是函数图象的一条对称轴；
③函数f（x）的图象可由函数y=

2

sin2x的图象向左平移

π

4

个单位得到；
④若x∈[0，

π

2

]，则f（x）的值域是[0，

2

]；
⑤函数f（x）关于(

π

4

，0)对称．
其中正确命题的序号是

①②

．

Answer 1

分析：首先利用二倍角公式和辅角公式整理函数式，在函数式的最简形式下进行性质的运算，写出函数的减区间，可判断①是否正确，代入x的值判断函数是否取最值，可判断②是否正确，根据函数图象的平移变换法则，求出平移量，可判断④的真假；根据自变量的值求出函数值，可以判断④是否正确．代入x的值判断函数值是否为0，可判断⑤是否正确；

解答：解：f（x）=-2sin²x+sin2x+1=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）
由2x+

π

4

∈[zkπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]得x∈[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，
当k=0时，区间[

π

8

，

5

8

π]是函数的减区间，故①正确，
当x=

π

8

时，y=

2

函数取最大值，故x=

π

8

是函数图象的一条对称轴，故②正确，
函数y=

2

sin2x的图象向左平移

π

8

个单位可得函数f（x）的图象，故③不正确，
当x∈[0，

π

2

]，f（x）的值域是[-1，

2

]，故④不正确，
当x=

π

4

时，y=1，函数值不为0，故(

π

4

，0)不是函数的对称中心，故⑤不正确，
故答案为：①②

点评：本题考查三角函数的恒等变形和函数的性质的运算，本题完全符合高考题目的方向，可以作为一个解答题目出现，注意三角函数的整理过程不要出错，否则后面的运算都被影响．