Question

6．已知椭圆的焦点坐标为F₁（-2，0），F₂（2，0），过F₂垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且$|PQ|=2\sqrt{2}$，
（1）求椭圆的方程；
（2）M为椭圆的上顶点，过点M作直线MA、MB交椭圆于A、B两点，直线MA、MB的斜率分别为k₁、k₂，且k₁+k₂=8，求证：AB过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的通径公式，及椭圆的性质a²=b²+1，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及直线的斜率公式，即可求得m与k的关系，代入直线方程，即可求得直线恒过定点；当直线l的斜率不存在时，根据斜率公式，即可求得直线l的方程，即可证明直线AB过定点．

解答 解：（1）由已知得c=2，丨PQ丨=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2$\sqrt{2}$，即$\sqrt{2}$a=b²，①
由a²=b²+c²=b²+1，②
由①②解得：b=2，a=2$\sqrt{2}$
故椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）证明：若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，且m≠±2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：（2k²+1）x²+4kmx+2m²-8=0，
x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{2{k}^{2}+1}$，
由已知可知：$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}}$=8，
则$\frac{k{x}_{1}+m-2}{{x}_{1}}$+$\frac{k{x}_{2}+m-2}{{x}_{2}}$=8，
即2k+（m-2）$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=8，…（8分）
∴k-$\frac{mk}{m+2}$=4，整理得m=$\frac{1}{2}$k-2．
故直线AV的方程为y=kx+$\frac{1}{2}$k-2，即y=k（x+$\frac{1}{2}$）-2．
所以直线AB过定点（-$\frac{1}{2}$，-2）． …（10分）
若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x₀，
设A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），
由已知$\frac{{{y_0}-2}}{x_0}+\frac{{-{y_0}-2}}{x_0}=8$，
得${x_0}=-\frac{1}{2}$．此时AB方程为$x=-\frac{1}{2}$，显然过点（-$\frac{1}{2}$，-2）．
综上，直线AB过定点（-$\frac{1}{2}$，-2）．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．