精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
精英家教网已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(c>0)的导函数的图象如图所示:
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)令g(x)=
f(x)x
,求y=g(x)在[1,2]上的最大值.
分析:(1)根据图象可知f(x)的导函数是一次函数,根据坐标(0,1),(-
1
2
,0)确定出一次函数解析式,求出f(x)的导函数,两者相等求出a、b即可;
(2)方法一:讨论
c
的大小范围,以[1,2]分成三个区间分别讨论,利用导数求闭区间上函数最值的方法求出最值并比较求出最大值即可;方法二:讨论x与
c
的大小利用导数求闭区间上函数最值的方法求出最值并比较求出最大值即可.
解答:解:(Ⅰ)因为f′(x)=2ax+b,由图可知,f′(x)=2x+1,
2a=2
b=1
,得
a=1
b=1
,故所求函数解析式为f(x)=x2+x+c.
(Ⅱ)g(x)=
f(x)
x
=
x2+x+c
x
=x+
c
x
+1

g′(x)=1-
c
x2
=
x2-c
x2
=
(x+
c
)(x-
c
)
x2

法一:①若
c
<1
,即0<c<1时,g′(x)>0,
∴g(x)在[1,2]上是增函数,故g(x)max=g(2)=
1
2
c+3

②若1≤
c
≤2
,即1≤c≤4,当1≤x<
c
时,g′(x)<0;当
c
≤x≤2
时,g′(x)>0;
∵g(1)=c+2,g(2)=
1
2
c+3

∴当1≤c≤2时,g(1)≤g(2),g(x)max=g(2)=
1
2
c+3

当2<c≤4时,g(1)>g(2),g(x)max=g(1)=c+2.
③若
c
>2
,即c>4时,g′(x)<0,
∴g(x)在[1,2]上是减函数,故g(x)max=g(1)=c+2.
综上所述,当0<c≤2时,g(x)max=
1
2
c+3
;当c>2时,g(x)max=c+2.
法二:∵当0≤x<
c
时,g′(x)<0;当x≥
c
时,g′(x)>0;
∴当x=1或x=2时,g(x)取得最大值,其中g(1)=c+2,g(2)=
c
2
+3

当0<c≤2时,g(x)max=g(2)=
c
2
+3

当c≥2时,g(x)max=g(1)=c+2.
点评:此题主要考查学生利用导数求闭区间上函数的最值的能力,以及分类讨论的数学思想.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知二次函数f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函数的图象经过原点,且满足f(2)=0,求实数m的值.
(Ⅱ)若函数在区间[2,+∞)上为增函数,求m的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(0,1),且与x轴有唯一的交点(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表达式;
(Ⅱ)设函数F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],记此函数的最小值为g(k),求g(k)的解析式.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数q的取值范围;
(2)若记区间[a,b]的长度为b-a.问:是否存在常数t(t≥0),当x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间D,且D的长度为12-t?请对你所得的结论给出证明.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•广州一模)已知二次函数f(x)=x2+ax+m+1,关于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集为(m,m+1),其中m为非零常数.设g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值时,函数φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在极值点,并求出极值点;
(3)若m=1,且x>0,求证:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(1)已知二次函数f(x)的图象与x轴的两交点为(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
(2)已知二次函数f(x)的图象的顶点是(-1,2),且经过原点,求f(x)的解析式.

查看答案和解析>>

同步练习册答案