Question

已知抛物线x²=4y的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在A、B两点处的切线交于点M．
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）设直线MF交该抛物线于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可设直线AB的方程为y=kx+1（k≠0由

x2=4y y=kx+1

消去y，得x²-4kx-4=0由x²=4y，得y=

1

4

x2，所以y′=

1

2

x，
分别求得直线AM的方程，BM的方程联立求解；
（Ⅱ）先由（I）得直线MF方程，与抛物线方程联立消去y，又因为k_MF•k_AB=-1，所以AB⊥CD，分别求得|AB|，|CD|的长度，由面积公式求解．

解答：解：（Ⅰ）由已知，得F（0，1），显然直线AB的斜率存在且不为0，
则可设直线AB的方程为y=kx+1（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2=4y y=kx+1

消去y，得x²-4kx-4=0，显然△=16k²+16＞0．
所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．（2分）
由x²=4y，得y=

1

4

x2，所以y′=

1

2

x，
所以，直线AM的斜率为kAM=

1

2

x1，
所以，直线AM的方程为y-y1=

1

2

x1(x-x1)，又x₁²=4y₁，
所以，直线AM的方程为x₁x=2（y+y₁）①．（4分）
同理，直线BM的方程为x₂x=2（y+y₂）②．（5分）
②-①并据x₁≠x₂得点M的横坐标x=

x1+x2

2

，
即A，M，B三点的横坐标成等差数列．（7分）

（Ⅱ）由①②易得y=-1，所以点M的坐标为（2k，-1）（k≠0）．
所以kMF=

2

-2k

=-

1

k

，
则直线MF的方程为y=-

1

k

x+1，（8分）
设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
由

x2=4y y=- 1 k x+1

消去y，得x2+

4

k

x-4=0，显然△=

16

k2

+16＞0，
所以x3+x4=-

4

k

，x₃x₄=-4．（9分）
又|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)(x1-x2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=4(k2+1)．（10分）
|CD|=

(x3-x4)2+(y3-y4)2

=

(1+ 1 k2 )(x3-x4)2

=

(1+ 1 k2 )[(x3+x4)2-4x3x4]

=4(

1

k2

+1)．（11分）
因为k_MF•k_AB=-1，所以AB⊥CD，
所以，SACBD=

1

2

|AB|•|CD|=8(

1

k2

+1)(k2+1)=8(k2+

1

k2

+2)≥32，
当且仅当k=±1时，四边形ACBD面积的取到最小值32．（13分）

点评：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，渗透着导数、数列、平面几何的知识，培养学生综合运用知识的能力．