Question

9、用数学归纳法证明“5ⁿ-2ⁿ能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用归纳假设，应将5^k+1-2^k+1变形为

5（5^k-2^k）+3×2^k

．

Answer 1

分析：本题考察的数学归纳法的步骤，在使用数学归纳法证明“5ⁿ-2ⁿ能被3整除”的过程中，由n=k时成立，即“5^k-2^k能被3整除”时，为了使用已知结论对5^k+1-2^k+1进行论证，在分解的过程中一定要分析出含5^k-2^k的情况．

解答：解：假设n=k时命题成立．
即：5^k-2^k被3整除．
当n=k+1时，
5^k+1-2^k+1=5×5^k-2×2^k
=5（5^k-2^k）+5×2^k-2×2^k
=5（5^k-2^k）+3×2^k
故答案为：5（5^k-2^k）+3×2^k

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．