Question

已知四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°，PB=BC=CD=AB.Q是PC上的一点，且PA∥平面QBD.

⑴确定Q的位置;
⑵求二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.

Answer 1

⑴当时，PA∥平面QBD；⑵二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.

试题分析：⑴要使得PA∥平面QBD，必须使得平面QBD内有一条直线与PA平行，为了找这条直线，先作过PA与平面QBD相交的平面，只要交线与PA平行即可.⑵由于BC,BA,BP两两垂直，故可以B为坐标原点，以BC,BA,BP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量进行计算.
试题解析：⑴当时，PA∥平面QBD，证明如下：
连结AC交BD于点M，
∵2CD=AB,CD∥AB,∴AM=2MC
过PA的平面PAC平面QBD=MQ,
∵PA∥平面QBD,∴AP∥MQ,∴PQ=2QC.       4分
⑵设BC=1，如图，以B为坐标原点，以BC,BA,BP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系O- xyz(其中点B与点O重合)，则C(1,0,0)，A(0,2,0)，D(1,1,0)，P(0,0,1).
∵PQ=2QC，∴
设平而QBD的一个法向量为，
则
取.

又平面CBD的一个法向量为
设二面角Q-BD-C的平面角为，又为锐角
∴
∴二面角Q-BD-C的平面角的余弦值。      12分