Question

已知函数 （x≠0，常数k∈R）．
（1）判断函数f（x） 的奇偶性，并证明你的结论；
（2）若k=8，证明：当a＞3 时，关于x 的方程f（x）=f（a） 有三个实数解．

Answer 1

解：（1）当k=0 时，f（x） 是偶函数；
当k≠0 时，f（x） 既不是奇函数，也不是偶函数．
证明：①当k=0 时，f（x）=x² （x≠0 ），
∴f（-x）=（-x）²=x²=f（x），
∴f（x） 是偶函数；
②当k≠0 时，f（-1）=1-k，f（1）=1+k，
∴f（-1）+f（1）=1-k+1+k=2≠0，
∴f（-1）≠-f（1）；
又f（-1）-f（1）=1-k-1-k=-2k≠0，
∴f（-1）≠f（1）．
∴f（x）
既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）由f（x）=f（a） 得，，
化简整理得，，
由x-a=0 得，方程的一个解x₁=a；
由 得，ax²+a²x-8=0，①
∵a＞3
，∴△=a⁴+32a＞0，
解①得 ，，
∵x₂＜0，x₃＞0，∴x₂＜x₃，
又x₁＞0，∴x₁＞x₂．
若x₁=x₃，即，
则，
∴a⁴=4a，解得a=0 或，与a＞3 矛盾，∴x₁≠x₃
故原方程有三个实数解．
分析：（1）由已知易判断出函数的定义域为R，关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，即可根据函数奇偶性的定义，进行判断得到结论；
（2）先由f（x）=f（a） 得，，化简整理得，由x-a=0 得，方程的一个解x₁=a；由 得，ax²+a²x-8=0，①解①得 有两个解，从而得出故原方程有三个实数解．
点评：本小题主要考查根的存在性及根的个数判断、函数奇偶性的应用等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．