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已知圆C在x轴上的截距为-1和3,在y轴上的一个截距为1.
(1)求圆C的标准方程;
(2)若过点(2 ,
3
-1)
的直线l被圆C截得的弦AB的长为4,求直线l的倾斜角;
(3)求过原点且被圆C截得的弦长最短时的直线l′的方程.
分析:(1)设圆C与x轴的交点为A和B,与y轴的交点为C,由圆C与x轴及y轴的截距,得出圆上三点的坐标A,B及C的坐标,进而确定出线段AB及线段AD的中垂线方程,联立两中垂线方程组成方程组,求出方程组的解得到圆心C的坐标,再由C和D的坐标,利用两点间的距离公式求出半径r,写出圆C的标准方程即可;
(2)分两种情况考虑:当直线l的斜率不存在时,直线l到圆心的距离为2,满足题意,可得出此时直线l的倾斜角为90°;当直线l的斜率存在时,设斜率为k,由直线l过(2,
3
-1),表示出直线l的方程,再由弦长及圆的半径,求出圆心到直线l的距离,然后利用点到直线的距离公式列出关于k的方程,求出方程的解得到k的值,利用直线倾斜角与斜率的关系求出此时直线l的倾斜角,综上,得到所有满足题意的直线l的倾斜角;
(3)当过原点且被圆C截得的弦长最短时,即为与直径OC垂直的弦,由O和C的坐标求出直线OC的斜率,确定出直线OC的方程,即为第二、四象限的角平分线,可得出直线l′为第一、三象限的角平分线,确定出直线l′的方程.
解答:解:(1)设A(-1,0),B(3,0),D(0,1),
则AB中垂线为x=1,AD中垂线为y=-x,
∴圆心C(x,y)满足
x=1
y=-x

∴C(1,-1),半径r=|CD|=
(1-0)2+(-1-1)2
=
5

则圆C的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=5;            
(2)当斜率不存在时,直线l:x=2到圆心的距离为1,亦满足题意,直线l的倾斜角为90°;
当斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2)+
3
-1,由弦长为4,
∴圆心(1,-1)到直线l的距离为
5-4
=1,即
|k(1-2)+1+
3
-1|
1+k2
=1,
解得:k=
3
3
,此时直线l的倾斜角为30°,
综上所述,直线l的倾斜角为30°或90°;          
(3)∵O(0,0),C(1,-1),
∴kOC=
-1
1
=-1,直线OC的方程为y=-x,
∴直线l':y=x.
点评:此题考查了直线与圆相交的性质,以及圆的标准方程,涉及的知识有:待定系数法求圆的方程,两点间的距离公式,点到直线的距离公式,直线的点斜式方程,直线斜率与倾斜角的关系,垂径定理,以及勾股定理,利用了转化及分类讨论的思想,是一道综合性较强的题.
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