Question

已知F₁(-2,0),F₂(2,0),点P满足|PF₁|-|PF₂|=2,记点P的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程;

(2)若直线l过点F₂且与轨迹E交于P、Q两点,①无论直线l绕F₂怎样转动,在x轴上总存在定点M(m,0),使MP⊥MQ恒成立,求实数m的值.②过P、Q作直线x=的垂线PA、QB,垂足分别为A、B,是否存在直线l,满足|PA|+|QB|=|AB|,若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解:(1)由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知,点P的轨迹E是以F₁、F₂为焦点的双曲线右支.由c=2,2a=2,得b²=3.

轨迹E的方程为x²=1(x≥1).

(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2),P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),将l的方程与双曲线方程联立,消y得(k²-3)x²-4k²x+4k²+3=0.解得k²＞3.

①∵·=(x₁-m)(x₂-m)+y₁y₂=（k²+1)x₁x₂-(2k²+m)(x₁+x₂)+m²+4k²=+m²,

∵MP⊥MQ,

∴·=0,即3(1-m²）+k²(m²-4m-5)=0对任意的k²＞3恒成立.

∴解得m=-1.当m=-1时,MP⊥MQ.

当直线l的斜率不存在时,由P(2,3),Q(2,-3)及M(-1,0)知结论也成立.

综上,当m=-1时,MP⊥MQ.

②∵a=1,c=2,∴x=是双曲线的右准线,假设存在直线l满足条件,且斜率为k.

由双曲线定义得:|PA|=|PF₂|=|PF₂|,|QB|=|QF₂|，

∴|PQ|=|AB||x₂-x₁|=|y₂-y₁|=|k(x₂-x₁)|.

∴1=|k|.

∴k=±1.又k²＞3,∴此时k不存在.

当直线的斜率不存在时,|PQ|=|AB|,此时不满足题设.

故不存在满足题设条件的直线l.