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已知y=f(x)满足f(n-1)=f(n)-lg an-1(n≥2,n∈N)且f(1)=-lg a,是否存在实数α,β,使f(n)=(αn2+βn-1)·lg a对任何n∈N*都成立,证明你的结论
∵f(n)=f(n-1)+lg an1
令n=2,则f(2)=f(1)+lg a=-lg a+lg a=0.
又f(1)=-lg a,
∴,∴.
∴f(n)=lg a.
现证明如下:(1)当n=1时,显然成立.
(2)假设n=k(k∈N*,且k≥1)时成立,
即f(k)=lg a,
则n=k+1时,
f(k+1)=f(k)+lg ak=f(k)+klg a
=lg a
=lg a.
则当n=k+1时,等式成立.
综合(1)(2)可知,存在实数α、β且α=,β=-,使
f(n)=(αn2+βn-1)lg a对任意n∈N都成立
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