Question

（本小题满分12分）已知函数（a∈R且）．

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意t∈[1，2]，函数在区间(t，3)上总不是单调函数，求m的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

(1) 当a＞0时，的单调增区间为（0,1），单调减区间为（1，＋∞）

当a＜0时，的单调增区间为（1，＋∞），单调减区间为（0,1）

(2)

【解析】

试题分析：解：(本小题满分12分)

（1）＝．　∵x＞0， ………………………1分

当a＞0时，的单调增区间为（0,1），单调减区间为（1，＋∞）……………2分

当a＜0时，的单调增区间为（1，＋∞），单调减区间为（0,1）．……………4分

（2）∵函数y＝在点（2，处的切线斜率为1，

∴，　解得a＝－2．………………………………5分

∴，　　∴．

∴．……………………………7分

令，即，　　∵△＝，

∴方程有两个实根且两根一正一负，即有且只有一个正根．…………8分

∵函数在区间（t，3）（其中t∈[1，2]）上总不是单调函数，

∴方程在上有且只有一个实数根．………………………9分

又∵，∴，．

∴，且．…………………………………………10分

∵，∴，

令，则，即在上单调递减．

∴，即．

∴．

综上可得，m的取值范围为．…………………………………12分

考点：本试题考查了导数的运用

点评：解决该试题的关键是能理解对于导数的符号，运用分类讨论的思想来求解函数的单调性。同时对于函数不单调的处理，可以转换为函数单调时的参数的范围，然后利用补集的思想求解结论，属于中档题。