Question

给出定义在上的三个函数：，已知g（x）在x=1处取极值．
（Ⅰ）确定函数h（x）的单调性；
（Ⅱ）求证：当时，恒有成立；
（Ⅲ）把函数h（x）的图象向上平移6个单位得到函数h₁（x）的图象，试确定函数的零点个数，并说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由题设，g（x）=x²-alnx，则g′（x）=2x-
由已知，g'（1）=0，即2-a=0
∴a=2
于是h（x）=x- ，则h′（x）=1-
由h′（x）=1-＞0
∴x＞1，
所以h（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数
证明：（Ⅱ）当1＜x＜e²时，0＜lnx＜2，即0＜f（x）＜2
欲证x＜，只需证x[2-f（x）]＜2+f（x），
即证f（x）＞
设φ（x）=f（x）- =lnx- ，
则φ′（x）=
当1＜x＜e²时，φ'（x）＞0，所以φ（x）在区间（1，e²）上为增函数．
从而当1＜x＜e²时，φ（x）＞φ（1）=0，即lnx＞，故x＜
解：（Ⅲ）由题设，h₁（x）=x-+6．
令g（x）-h₁（x）=0，则x²-2lnx-（x-+6）=0，即 -2lnx=-x²+x+6
设h₂（x）=-2lnx， h₃（x）=-x²+x+6（x＞0），
则h₂′（x）= ，由＞0，得x＞4．
所以h₂（x）在（4，+∞）上是增函数，在（0，4）上是减函数
又h₃（x）在（0， ）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．
因为当x→0时，h₂（x）→+∞，h₃（x）→6．
又h₂（1）=2，h₃（1）=6，h₂（4）=4-2ln4＞0，h₃（4）=-6，
则函数h₂（x）与h₃（x）的大致图象如下：

由图可知，当x＞0时，两个函数图象有2个交点，
故函数y=g（x）-h₁（x）有2个零点．