Question

如图，四棱锥A-BCDE的底面BCDE是正方形，AB垂直于面BCDE，且AB=CD，F，G分别是BC、AD的中点
（1）证明：FG⊥平面ADE
（2）求三棱锥A-FDE与四棱锥G-BFDE的体积之比．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取AE的中点I，连接BI，GI，由等腰三角形性质得BI⊥AE，从而平面ABE⊥平面BCDE，DE⊥平面ABE，从而DE⊥BI，进而BI⊥平面ADE，由已知条件推导出四边形BFGI是平行四边形，由此能证明FG⊥平面ADE．
（2）连接BD、CE交于点O，再连接GO，则GO为四棱锥G-BFDE的高，由GO=

1

2

AB．能求出三棱锥A-FDE与四棱锥G-BFDE的体积之比．

解答： （1）证明：取AE的中点I，连接BI，GI．
∵AB=BE且I是AE的中点，∴BI⊥AE．（等腰三角形性质）
∵AB⊥平面BCDE且AB?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面BCDE，（面面垂直的判定定理），
∵DE⊥BE，∴DE⊥平面ABE，（面面垂直的性质定理）
∴DE⊥BI，（线面垂直的定义）
又AE∩DE=E，∴BI⊥平面ADE．（线面垂直的判定定理）
∵GI∥DE，GI=

1

2

DE，BF∥DE，BF=

1

2

DE，
∴BF∥GI且BF=GI，即四边形BFGI是平行四边形，
∴FG∥BI，∴FG⊥平面ADE（线面垂直的判断定理的推论）（6分）
（2）解：连接BD、CE交于点O，再连接GO，
则GO为四棱锥G-BFDE的高，
GO=

1

2

AB．
∴三棱锥A-FDE与四棱锥G-BFDE的体积之比：

VA-FDE

VG-BFDE

=

1 3 ×AB× 1 2 ×BE×DE

1 3 × 1 2 AB×(BE×DE- 1 2 × 1 2 BC×CD)

=

4

3

．（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查四棱锥体积之比的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力培养．