Question

已知函数f(x)=-x+2n

1+x2

在区间（0，+∞）上的最小值是a_n（n∈N^*）．
（1）求a_n；
（2）设S_n为数列{

1

a 2 n

}的前n项的和，求

lim

n→∞

S_n的值；
（3）若Tn=

3

cos

π

an

 -sin

π

an

，试比较T_n与T_n+1的大小．

Answer 1

分析：（1）利用导数判断函数的单调性，由函数的单调性确定函数的最小值，可求a_n的值．
（2）对数列{

1

a 2 n

}的同项公式进行变形、裂项求和，然后再对和求极限．
（3）化简T_n的解析式，由

π

6

＜

π

an+1

+

π

6

＜

π

an

+

π

6

≤

π

3

+

π

6

＜

5π

6

，及
y=cosx在[0，π]上单调递减，可得T_n＜T_n+1 ．

解答：解：（1）由题f′(x)=

2nx

1+x2

-1
令f'（x）=0，得x=

1

4n2-1

所以an=

4n2-1

；
（2）因为

1

a 2 n

=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
所以Sn=

1

2

(1-

1

2n+1

)
所以

lim

n→∞

Sn=

1

2

（3）Tn=

3

cos

π

an

-sin

π

an

=2cos(

π

an

+

π

6

)，

又由

1

an

=

1

4n2-1

知0＜

1

an+1

＜

1

an

≤

1

3

，
从而

π

6

＜

π

an+1

+

π

6

＜

π

an

+

π

6

≤

π

3

+

π

6

＜

5π

6

又y=cosx在[0，π]上单调递减，所以T_n＜T_n+1．

点评：本题考查在闭区间上利用导数求函数的最值，求数列的极限，及用裂项法进行数列求和．是中档题．