Question

【题目】对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意x∈[m，n]均有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的；否则称f（x）与g（x）在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f1（x）=loga（x﹣3a），与f2（x）=loga （a＞0，a≠1），给定区间[a+2，a+3]．
（1）若f1（x）与f1（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围；
（2）讨论f1（x）与f1（x）在给定区间[a+2，a+3]上是否是接近的？

Answer 1

【答案】
（1）解：要使f1（x）与f2（x）有意义，则有 ，

要使f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，等价于： ，所以0＜a＜1

（2）解：f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的，

|f1（x）﹣f（x2）|≤1|loga（x﹣3a）﹣ |≤1|loga[（x﹣3a）（x﹣a）]|≤1a≤（x﹣2a）2﹣a2 对于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．

设h（x）=（x﹣2a）2﹣a2，x∈[a+2，a+3]，

且其对称轴x=2a＜2在区间[a+2，a+3]的左边，

，

所以当 ，时，f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的

【解析】（1）要使f1（x）与f2（x）有意义，则有 ，即 ，从而求出a的取值范围．（2）f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的，
|f1（x）﹣f（x2）|≤1|loga（x﹣3a）﹣ |≤1|loga[（x﹣3a）（x﹣a）]|≤1a≤（x﹣2a）2﹣a2 对于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．