Question

【题目】已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．

(1)求P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】（1）(－1，－4)；（2）x＋4y＋17＝0.

【解析】试题分析：（1）根据曲线方程求出导函数，因为已知直线4x-y-1=0的斜率为4，根据切线与已知直线平行得到斜率相等都为4，所以令导函数等于4得到关于x的方程，求出方程的解，即为切点P0的横坐标，代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，又因为切点在第3象限，进而写出满足题意的切点的坐标；
（2）由直线l1的斜率为4，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，得到直线l的斜率为，又根据（1）中求得的切点坐标，写出直线l的方程即可．

试题解析：

(1)证明：由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1.

由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.

当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.

又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．

(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率.

∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，

∴直线l的方程为y＋4＝－ (x＋1)，即x＋4y＋17＝0.