Question

向量m=（sinωx+cosωx，

3

cosωx）（ω＞0），n=（cosωx-sinωx，2sinωx），函数f（x）=m•n+t，若f（x）图象上相邻两个对称轴间的距离为

3π

2

，且当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0．
（1）求函数f（x）的表达式，并求f（x）的增区间；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cos B+cos（A-C），求sin A的值．

Answer 1

（1）函数f（x）=m•n+t=cos2ωx+

3

sin2ωx+t=2sin（2ωx+

π

6

）+t，由

3π

2

=

π

ω

，
ω=

2

3

，∴f（x）=2sin(

2

3

x+

π

6

)+ t．当x∈[0，π]时，

π

6

≤ 

2

3

x+

π

6

≤

5π

6

，
函数f（x）的最小值为 1+t=0，∴t=-1，∴f(x)=2sin(

2

3

x+

π

6

)-1．
由 2kπ-

π

2

≤

2

3

x+

π

6

≤ 2kπ+

π

2

，k∈z，可得   3kπ-π≤x≤3kπ+

π

2

，
故f（x）的增区间为   [3kπ-π，3kπ+

π

2

]，k∈z．
（2）∵f（C）=1=2sin（

2C

3

+

π

6

 ）-1，∴sin（

2C

3

+

π

6

 ）=1，由 0＜C＜π 可得，，
 

π

6

＜

2C

3

+

π

6

＜

5π

6

，∴

2C

3

+

π

6

=

π

2

，C=

π

2

，A+B=

π

2

． 
又  2sin²B=cos B+cos（A-C），∴2 cos²A=sinA+sinA，∴sinA=

5 -1

2

．