Question

已知函数f(x)=

-x3+ax2+bx，(x＜1) c(ex-1-1)，(x≥1)

在x=0，x=

2

3

处取到极值
（Ⅰ）当c=e时，方程

f(x)

x

=k恰有三个实根，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象上存在两点A，B使得

OA

•

OB

=0（O为坐标原点），且线段AB的中点在y轴上，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（I）当x＜1时，先对函数f（x）进行求导，由题意知x=0，x=

2

3

是方程f'（x）=0的两实根，由韦达定理可求出a，b的值．将方程转化为函数y=k与y=f（x），将方程根的问题转化为函数图象交点问题解决．
（II）根据分段函数，分类讨论，利用

OA

•

OB

=0，结合函数思想即可求实数c的取值范围．

解答：解：（I）当x＜1时，f′（x）=-3x²+2ax+b．
由极值点的必要条件可知x=0，x=

2

3

是方程f′（x）=0的两根，
则0+

2

3

=

2a

3

，0×

2

3

=-

b

3

，解得a=1，b=0．
∴当c=e时，f(x)=

-x2+x (x＜1) e x (ex-1-1)(x≥1)

…4分．
当x≥1时，f′（x）=

e

x2

＞0，此时函数在[1，+∞）上是增函数，如图，又当x=

1

2

时，f（x）取得极大值

1

4

，
由图象知当k∈（0，

1

4

）时，函数y=k与y=f（x）有3个不同的交点，
即方程有3个实根．
故实数k的取值范围为（0，

1

4

）…8分．
（II）由（I）知，f（x）=

-x2+x (x＜1) c(ex-1-1)(x≥1)

，
根据条件得A，B的横坐标互为相反数，不妨设A（-t，-t³+t²），B（t，f（t）），（t＞0）．
若t＜1，则f（t）=-t³+t²，
由

OA

•

OB

=0，即-t²+（-t³+t²）（-t³+t²）=0，
即-1+（-t+1）²=0．此时t=0或2，不合，舍去；
若t≥1，则f（t）=c（e^t-1-1）．
由于AB的中点在y轴上，且∠AOB是直角，所以B点不可能在x轴上，即t≠1．
同理由

OA

•

OB

=0，即-t²+（-t³+t²）•c（e^t-1-1）=0，
∴c=

1

(et-1-1)(-t+1)

…12分．
由于函数g（t）=

1

(et-1-1)(t+1)

（t＞1）的值域是（-∞，0），
∴实数c的取值范围是（-∞，0）…14分．

点评：本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系，以及研究方程根的个数问题，此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题，其次是直接求出所有的根．