Question

在球内有相距1 cm的两个平行截面，截面面积分别是5π cm²和8π cm²，球心不在截面之间，求球面的面积．

Answer 1

球的表面积是36π cm²．

已知截面面积,也就能求出截面半径．要求球的面积,只要求出球的半径即可．设球的半径为R,利用几何关系,容易得到球心到两截面的距离分别为和,由于球心不在截面之间,即两截面在同一侧,故这两个距离相减即得到两平面之间距离．

如图，圆O是球的大圆，A₁B₁、A₂B₂分别是两条平行于截面圆的直径，过O作OC₁⊥A₁B₁于C₁，交A₂B₂于C₂．由于A₁B₁∥A₂B₂，所以OC₂⊥A₂B₂．由圆的性质可得，C₁和C₂分别是A₁B₁和A₂B₂的中点．
设两平行平面的半径分别为r₁和r₂，且r₁＜r₂，
依题意πr₁²=5π，πr₂²=8π，∴r₁²=5，r₂²=8．
∵OA₁和OA₂都是球的半径R，
∴，．
∴．
解这个方程得R²=9，∴S_球=4πR²=36π(cm²)．
∴球的表面积是36π cm²．