Question

（1）若f′（x₀）=6，求

lim t→0

f(x0-t)-f(x0)

3t

的值；
（2）若函数f（x）=（x²-x-1）e^-x，求f（x）的极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据导数的定义即可到达结论，
（2）求函数的导数，利用导数和函数极值之间的关系即可得到结论．

解答： 解：（1）∵

lim t→0

f(x0-t)-f(x0)

3t

=

lim

t→0

f(x0-t)-f(x0)

-t

×(-

1

3

)=-

1

3

f′（x₀）=6×(-

1

3

)=-2，
（2）∵f（x）=（x²-x-1）e^-x，
∴f'（x）=-x（x-3）e^-x
由f'（x）＞0，解得0＜x＜3，此时函数单调递增，
由f'（x）＜0，解得x＜0或x＞3，此时函数单调递减，
即当x=0时，f（x）的极小值为-1，
当x=3时，f（x）的极大值为5e^-3．

点评：本题主要考查导数的定义，以及函数极值的求法，根据导数与极值之间的关系是解决本题的关键．