Question

如图，BA是圆O的直径，C、E在圆0上，BC、BE的延长线交直线AD于点D、F，BA²=BC•BD．求证：
（Ⅰ）直线AD是圆O的切线；
（Ⅱ）∠D+∠CEF=180°．

Answer 1

考点：圆的切线的性质定理的证明,圆的切线的判定定理的证明

专题：选作题,立体几何

分析：（Ⅰ）连AC，证明△ABC∽△DBA，可得∠BAD=∠ACB=90°，即可证明直线AD是圆O的切线；
（Ⅱ）证明四点C、C、E、F四点共圆，即证明∠D+∠CEF=180°．

解答： 证明：（Ⅰ）连AC，
∵BA是圆O的直径，∴∠ACB=90°，
∵BA²=BC•BD，∴

BA

BC

=

BD

BA

，
又∵∠ABC=∠DBA，
∴△ABC∽△DBA，∴∠BAD=∠ACB=90°，
∵OA是圆O的半径，∴直线AD是圆O的切线；…（5分）
（Ⅱ）∵△ABC∽△DBA，∴∠BAC=∠D，
又∠BAC=∠BEC，
∴∠D=∠BEC，
∴四点C、C、E、F四点共圆，∴∠D+∠CEF=180°…（10分）

点评：本题综合考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，考查四点共圆，属于中档题．