Question

如图，已知BC为⊙O的直径，点A、F在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，BF交AD于E，且AE=BE．
（1）求证：AB=AF；
（2）如果sin∠FBC=

3

5

，AB═4

5

，求AD的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：直线与圆,立体几何

分析：（1）由已知条件推导出∠ABF=∠BAD，∠BAD=∠BCA=∠BFA，从而得到∠ABF=∠BFA，由此能证明AB=AF．
（2）由已知条件推导出∠FCB=2∠ACB，BF⊥CF，sin∠FBC=cos∠FCB=cos2∠ACB=

3

5

，从而得到cos∠ACB=

AC

BC

=

2

5

，由已知条件推导出△ABD∽△CBA，由此能培育出AD．

解答： （1）证明：∵AE=BE，∴∠ABF=∠BAD，
∵∠BAD和∠BCA是垂径定理分成的等弧所对的圆周角，
∠BCA和∠BFA是同弧所对的圆周角，
∴∠BAD=∠BCA=∠BFA，
∴∠ABF=∠BFA，∴AB=AF．
（2）解：∵AB=AF，∴∠ACB=∠ACF=

∠FCB

2

，
∴∠FCB=2∠ACB．
∵BC是⊙O的直径，∴BF⊥CF，
∴sin∠FBC=cos∠FCB=cos2∠ACB=

3

5

，
∴2（cos∠ACB）²-1=

3

5

，
∴2（cos∠ACB）²=

8

5

，∴cos∠ACB=

2

5

，
∵AB⊥AC，∴cos∠ACB=

AC

BC

=

2

5

，
∵∠BAD=∠ACB，∠ADB=∠CAB=90°，
∴△ABD∽△CBA，∴

AB

BC

=

AD

AC

，
∴AD=AB×

AC

BC

=4

5

×

2

5

=8．

点评：本题考查线段相等的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意垂径定理、三角形相似等知识点的合理运用．