Question

（1）已知cos（

π

4

+x）=

3

5

，求

sin2x-2sin2x

1-tanx

的值．
（2）已知cos（α-

β

2

）=-

1

9

，sin（

α

2

-β）=

2

3

，且

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,三角函数的化简求值,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）化简条件求得 cosx-sinx=

3 2

5

，平方可得sin2x=

7

25

．再化简要求的式子为sin2x，从而求得结果．
（2）根据

α+β

2

=(α-

β

2

)-(

α

2

-β)，先求得sin（α-

β

2

）、cos（

α

2

-β）、cos

α+β

2

的值，再根据cos（α+β）=2cos2

α+β

2

-1，计算求得结果．

解答： 解：（1）∵cos(

π

4

+x)=

3

5

，∴

2

2

(cosx-sinx)=

3

5

，∴cosx-sinx=

3 2

5

，
∴1-2sinx•cosx=

18

25

，∴sin2x=

7

25

．
又∵

sin2x-2sin2x

1-tanx

=

2sinx•cosx(cosx-sinx)

cosx-sinx

=sin2x=

7

25

．
（2）∵

α+β

2

=(α-

β

2

)-(

α

2

-β)，
∴cos

α+β

2

=cos[(α-

β

2

)-(

α

2

-β)]=cos(α-

β

2

)cos(

α

2

-β)+sin(α-

β

2

)sin(

α

2

-β)．
又∵

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，且cos(α-

β

2

)=-

1

9

，sin(

α

2

-β)=

2

3

，∴

π

2

＜α-

β

2

＜π，0＜

α

2

-β＜

π

2

，
∴sin(α-

β

2

)=

1-cos2(α- β 2 )

=

1-(- 1 9 )2

=

4 5

9

，cos(

α

2

-β)=

1-sin2( α 2 -β)

=

1-( 2 3 )2

=

5

3

，
∴cos

α+β

2

=-

1

9

×

5

3

+

4 5

9

×

2

3

=

7 5

27

，
∴cos(α+β)=2cos2

α+β

2

-1=2×(

7 5

27

)2-1=-

239

729

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，要特别注意角的范围，属于中档题．