Question

已知命题p：函数y=

1

3

x³-

1

2

（m+1）x²+x+m在（-∞，+∞）上单调递增；命题q：方程x²-2mx+1=0有实数根．
（1）若p是真命题，求实数m的取值范围； 
（2）若?p为假命题，且p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：常规题型,简易逻辑

分析：（1）p为真命题，则函数y=

1

3

x³-

1

2

（m+1）x²+x+m在（-∞，+∞）上单调递增，只要让导数在（-∞，+∞）恒大于等于0即可；
（2）根据?p为假命题，且p∧q为假命题，分析出p为真命题，q为假命题，然后求出q为假命题的m的范围和p是真命题的范围求交集即可．

解答： 解：（1）若p是真命题，
∵函数y=

1

3

x³-

1

2

（m+1）x²+x+m在（-∞，+∞）上单调递增，
∴y′=x²-（m+1）x+1在（-∞，+∞）上大于等于0恒成立，
∴（m+1）²-4≤0
解得：-3≤m≤1
∴p是真命题时实数m的取值范围为-3≤m≤1．
（2）若?p为假命题，且p∧q为假命题，
则p为真命题，q为假命题，
由q为假命题，所以方程x²-2mx+1=0无实数根．
∴4m²-4＜0，解得：-1＜m＜1
∴?p为假命题，且p∧q为假命题时实数m的取值范围为-1＜m＜1．

点评：本题考查了复合命题真假的判断，解题的关键是把复合命题的真假问题转化成单个命题的真假问题解决．