Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y=x，当x＞2时，y=f（x）的图象是顶点为P（3，4），且过点A（2，2）的抛物线的一部分．
（1）求函数f（x）在（-∞，-2）上的解析式；
（2）在直角坐标系中画出函数f（x）的草图；
（3）写出函数f（x）的值域；
（4）写出函数的单调递减区间．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：常规题型

分析：本题考查了偶函数的图象与性质，着重考查了对应区间上函数解析式的求法，偶函数的作图方法，并涉及了其值域与单调性及抛物线的顶点式．

解答： （1）设顶点为P（3，4），且过点A（2，2）的抛物线的方程为y=a（x-3）²+4，
将（2，2）代入可得a=-2，
∴y=-2（x-3）²+4，
即y=-2x²+12x-14．
设x＜-2，则-x＞2．
又f（x）为偶函数，
∴f（x）=f（-x）=-2×（-x）²-12x-14，
即f（x）=-2x²-12x-14．
∴函数f（x）在（-∞，-2）上的解析式为f（x）=-2x²-12x-14．
（2）函数f（x）的图象如图所示：（-3，0）
（3）由函数图象可得函数f（x）的值域为（-∞，4]．
（4）由图知，递减区间为及（3，+∞）（除无穷外，其他端点也可以取到）

点评：本题考查内容比较集中，是高中学习的重点，要熟练掌握．