Question

在△ABC中，已知

AB

•

AC

=9，sinB=cosAsinC，面积S_△ABC=6．
（1）求△ABC的三边的长a，b，c；
（2）设P是△ABC（不含边界）内的一点，P到三边AC、BC、AB的距离分别是x、y、z且

AP

=

AC

| AC |

+

AB

| AB |

．
①写出x、y、z所满足的等量关系；
②求

2

x

+

1

y

的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,平面向量数量积的运算

专题：综合题,解三角形,不等式的解法及应用

分析：（1）设△ABC中的三边分别为a、b、c，由三角形内角和化简sinB=cosAsinC，算出C=

π

2

，由此化简

AB

•

AC

=9，得到b²=9，解出b=3，代入三角形面积公式算出a=4，最后由勾股定理即可算出c的长；
（2）①由三角形面积公式将△ABC的面积分为三块计算，化简得3x+4y+5z=12，即为x、y、z所满足的等量关系；
②确定点P在角A的平分线上，x=z，可得2x+y=3（x＞0，y＞0），再利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求

2

x

+

1

y

的最小值．

解答： 解：（1）设△ABC中角ABC所对边分别为a、b、c
由sinB=cosAsinC，得sin（A+C）=cosAsinC
∴sinAcosC=0，可得C=

π

2

又∵

AB

•

AC

=9，得bccosA=9
∴结合ccosA=b，有b²=9，可得b=3．
∵S_△ABC=

1

2

ab=6，∴a=4
结合c²=a²+b²得c=5
即△ABC的三边长a=4，b=3，c=5；
（2）①S_△PAC+S_△PBC+S_△PAB=S_△ABC，可得

1

2

•3x+

1

2

•4y+

1

2

•5z=6
故3x+4y+5z=12；
②∵

AP

=

AC

| AC |

+

AB

| AB |

，
∴点P在角A的平分线上，
∴x=z，∴2x+y=3（x＞0，y＞0），
∴

2

x

+

1

y

=

1

3

(2x+y)(

2

x

+

1

y

)=

1

3

(4+

2x

y

+

2y

x

+1)≥

1

3

(5+4)=3
当且仅当x=y时上式取“=”．

点评：本题着重考查了向量的数量积、三角形的面积公式、勾股定理的知识，考查了基本不等式，属于中档题．请同学们注意解题过程中转化化归、数形结合和方程思想的运用．