Question

已知二阶矩阵M=

a 1 3 d

有特征值λ=-1及对应的一个特征向量

e1

=

1 -3

．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）设曲线C在矩阵M的作用下得到的方程为x²+2y²=1，求曲线C的方程．

Answer 1

考点：特征值与特征向量的计算,变换、矩阵的相等,矩阵特征值的定义

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（I）根据矩阵的特征值与特征向量的定义建立等式关系，解之即可求出a和d的值，从而求出矩阵M；
（II）设点A（x，y）为曲线C上的任一点，它在矩阵M的作用下得到的点为A'（x'，y'），然后建立等式关系，将A'（x'，y'）代入方程为x²+2y²=1进行求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）

a 1 3 d

1 -3

=-1×

1 -3

=

-1 3

，∴

a-3=-1 3-3d=3

解得

a=2 d=0

，∴M=

2 1 3 0

．…（4分）
（Ⅱ）设点A（x，y）为曲线C上的任一点，它在矩阵M的作用下得到的点为A'（x'，y'），
则

2 1 3 0

x y

=

x′ y′

，所以

x′=2x+y y′=3x

代入x²+2y²=1得（2x+y）²+2•（3x）²=1，
所以所求的曲线方程为22x²+4xy+y²=1．…（7分）

点评：本题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化归与转化思想．