Question

已知P为抛物线y²=2x上的点，及点A（3，2）
（1）求|PA|+|PF|的最小值；
（2）求点P到B（-

1

2

，1）的距离与P到直线x=-

1

2

的距离之和的最小值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得；
（2）根据抛物线的定义，抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，问题可转化为求点P到B（-

1

2

，1）的距离与点P到F的距离之和的最小值．

解答： 解：（1）设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|
∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小
当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，为3+

1

2

=

7

2

；
（2）设抛物线的焦点为F，B（-

1

2

，1），根据抛物线的定义，抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，问题可转化为求点P到B（-

1

2

，1）的距离与点P到F的距离之和的最小值
连接F、B两点，两点之间线段最短有|FB|≤|MB|+|BF|，M为BF与抛物线的交点，
∴点P到B（-

1

2

，1）的距离与P到直线x=-

1

2

的距离之和的最小值为|FB|=

2

．

点评：本题考查抛物线的定义，考查不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．