练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知点A（2，1），B（3，2），向量
    AD
    =（-3，3）．
    （1）若四边形ABCD为平行四边形，求它的两条对角线所成的锐角的余弦值；
    （2）设O为坐标原点，P是直线OB上的一点，当
    PA
    •
    PD
    取得最小值时，求△PAD的面积．
    考点：平面向量数量积的运算,平面向量共线（平行）的坐标表示
    专题：计算题,平面向量及应用
    分析：（1）先求D点坐标，然后根据四边形ABCD为平行四边形，求出C点坐标，根据向量的夹角公求两条对角线所成的锐角的余弦值；
    （2）根据P是直线OB上的一点，用λ表示出P点坐标，
    PA
    •
    PD
    就可表示成关于λ的二次函数，当
    PA
    •
    PD
    取得最小值时，求出λ的值，得出P点坐标，进而求出△PAD的面积．
    解答： 解：（1）∵点A（2，1），向量
    AD
    =（-3，3）
    ∴D点坐标为（-1，4）
    ∵四边形ABCD为平行四边形，
    ∴
    AD
    =
    BC
    ，
    设C点的坐标为（a，b），则
    BC
    =(a-3，b-2)
    ∴a-3=-3，b-2=3
    解得：a=0，b=5
    ∴C点坐标为（0，5）
    ∴
    AC
    =（-2，4），
    BD
    =（-4，2）
    由向量的夹角公式得：cos＜
    AC
    ，
    BD
    ＞    =
    -2×(-4)+4×2
    		(-2)2+42
    •
    		(-4)2+22
    =
    4
    5
    ，
    ∴两条对角线所成的锐角的余弦值为
    4
    5
    ．
    （2）∵P是直线OB上的一点，设P点的坐标为（3λ，2λ）
    PA
    •
    PD
    =（2-3λ，1-2λ）•（-1-3λ，4-2λ）
    =13λ2-13λ+2
    当λ=
    1
    2
    时，
    PA
    •
    PD
    取得最小值，
    ∴P点的坐标为（
    3
    2
    ，1）
    ∴△PAD的面积为
    1
    2
    ×
    1
    2
    ×3=
    3
    4
    ．
    点评：本题考查了向量的运算及函数的最值问题，研究最值时关键是通过构造函数来解决．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知命题p：函数y=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    （m+1）x2+x+m在（-∞，+∞）上单调递增；命题q：方程x2-2mx+1=0有实数根．
    （1）若p是真命题，求实数m的取值范围； 
    （2）若?p为假命题，且p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，已知
    AB
    •
    AC
    =9，sinB=cosAsinC，面积S△ABC=6．
    （1）求△ABC的三边的长a，b，c；
    （2）设P是△ABC（不含边界）内的一点，P到三边AC、BC、AB的距离分别是x、y、z且
    AP
    =
    AC
    |
    AC
    |
    +
    AB
    |
    AB
    |
    ．
    ①写出x、y、z所满足的等量关系；
    ②求
    2
    x
    +
    1
    y
    的最小值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知全集U=R，集合A={x||x-1|＜6}，B={x|
    x-8
    2x-1
    ＞0}
    （1）求A∩B；
    （2）求（∁UA）∪B．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知BC为⊙O的直径，点A、F在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，BF交AD于E，且AE=BE．
    （1）求证：AB=AF；
    （2）如果sin∠FBC=
    3
    5
    ，AB═4
    		5
    ，求AD的长．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点A（-1，0），B（1，-1）和抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图
    （1）证明：
    OM
    •
    OP
    为定值；
    （2）若△POM的面积为
    5
    2
    ，求向量
    OM
    与
    OP
    的夹角；
    （3）证明直线PQ恒过一个定点．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    化简：（
    1
    tan
    α
    2
    -tan
    α
    2
    ）•
    1-cos2α
    sin2α
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P．若PB=1，PD=3，则
    BC
    AD
    的值为多少？

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    空间直角坐标系中，A（1，0，2），B（t，2，-1），则线段AB长度的最小值是
     
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案