Question

11．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且$\frac{（a+b）^{2}-{c}^{2}}{3ab}$=1．
（1）求∠C；
（2）若c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，求∠B及△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知条件化简变形可得：a²+b²-c²=ab，利用余弦定理可得cosC，结合范围C∈（0°，180°），即可得解C的值．
（2）利用已知及正弦定理可得sinB，利用大边对大角可求角B的值，利用两角和的正弦函数公式可求sinA的值，利用三角形面积公式即可求值得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由已知条件化简可得：（a+b）²-c²=3ab，变形可得：a²+b²-c²=ab，
由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0°，180°），
∴C=60°…6分
（2）∵c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，C=60°，
∴由正弦定理可得：sinB=$\frac{bsinC}{c}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵b＜c，∴B＜C，∴B=45°，
在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcoC+cosBsinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{2}×$$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$…12分

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，大边对大角，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．