Question

已知向量

a

=（sinx，-

3

），

b

=（1，cosx）
（1）若x是三角形的一个内角，且

a

⊥

b

，求x；
（2）若函数f（x）=

a

•

b

+m的最大值为3，求m的值，并确定f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由条件根据两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式，求得tanx的值，可得角x的值．
（2）由f（x）的最大值为3，求得m的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性求得f（x）的单调区间．

解答： 解：（1）∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=sinx-

3

cosx=0，∴tanx=

π

3

．∵x为三角形的内角，∴x=

π

3

．
（2）f(x)=

a

•

b

+m=sinx-

3

cosx+m=2sin(x-

π

3

)+m，∵f（x）的最大值为3，∴m=1．
由2kπ-

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，求得2kπ-

π

6

≤x≤2kπ+

5π

6

，故f（x）的递增区间为：[2kπ-

π

6

，2kπ+

5π

6

](k∈Z)．
由 2kπ+

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

(k∈Z)，求得 2kπ+

5π

6

≤x≤2kπ+

11π

6

，故f（x）的递减区间为：[2kπ+

5π

6

，2kπ+

11π

6

](k∈Z)．

点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式，正弦函数的最值、正弦函数的单调性，属于基础题．