Question

已知二次函数f（x）=2x²-4ax+4，在下列条件下，求实数a的取值范围．
（1）一根比2大，一根比2小；
（2）两根均小于2．

Answer 1

分析：（1）通过二次函数的开口方向以及函数的零点推出f（2）＜0，解得a的范围即可．
（2）方法一：两根均小于2，利用函数的对称轴，判别式以及f（2）的值的范围，得到不等式组求解即可．
方法二：直接利用韦达定理以及两个根小于2，推出不等式组，求解即可．

解答：解：（1）由题意二次函数f（x）=2x²-4ax+4，一根比2大，一根比2小，
只需f（2）=8-8a+4＜0，解得a＞

3

2

．
（2）方法一：函数的对称轴为x=a，两根均小于2，
∴

△=16a2-32≥0 f(2)=12-8a＞0 a＜2

，解得

2

≤a＜

3

2

或a≤-

2

．
法二：由韦达定理

x1+x2=2a x1•x2=2

，

△=16a2-4×2×4≥0 (x1-2)+(x2-2)＜0 (x1-2)•(x2-2)＞0

⇒

a≥ 2 或a≤- 2 a＜2 a＜ 3 2

⇒

2

≤x＜

3

2

或a≤-

2

点评：本题考查函数的零点的应用，韦达定理二次函数根的分布的应用，考查分析问题解决问题的能力．