Question

【题目】某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm），得到如下的频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，求这个零件尺寸的中位数（结果精确到）；

（2）若从这个零件中尺寸位于之外的零件中随机抽取个，设表示尺寸在上的零件个数，求的分布列及数学期望；

（3）已知尺寸在上的零件为一等品，否则为二等品，将这个零件尺寸的样本频率视为概率. 现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱个. 企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为元. 若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付元的赔偿费用. 现对一箱零件随机抽检了个，结果有个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）分布列见详解，期望为；（3）余下所有零件不用检验，理由见详解.

【解析】

（1）计算的频率，并且与进行比较，判断中位数落在的区间，然后根据频率的计算方法，可得结果.

（2）计算位于之外的零件中随机抽取个的总数，写出所有可能取值，并计算相对应的概率，列出分布列，计算期望，可得结果.

（3）计算整箱的费用，根据余下零件个数服从二项分布，可得余下零件个数的期望值，然后计算整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值，进行比较，可得结果.

（1）尺寸在的频率：

尺寸在的频率：

且

所以可知尺寸的中位数落在

假设尺寸中位数为

所以

所以这个零件尺寸的中位数

（2）尺寸在的个数为

尺寸在的个数为

的所有可能取值为1，2，3，4

则，

，

所以的分布列为

（3）二等品的概率为

如果对余下的零件进行检验则整箱的检验费用为

（元）

余下二等品的个数期望值为

如果不对余下的零件进行检验，

整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值为

（元）

所以，所以可以不对余下的零件进行检验.