Question

16．已知椭圆$\frac{x^2}{tanα}$+$\frac{y^2}{{{{tan}^2}α+1}}$=1，其中α∈（0，$\frac{π}{2}$），则椭圆形状最圆时的方程为（　　）

• A． ${x^2}+\frac{y^2}{6}=1$
• B． ${x^2}+\frac{y^2}{3}=1$
• C． ${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$
• D． ${x^2}+\frac{y^2}{2}=1$

Answer 1

分析 由题意可知设条件推导出tanα＞0，椭圆E的长轴在y轴上，根据正弦函数性质，求得离心率的最小值，由此能求出椭圆方程．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{tanα}$+$\frac{y^2}{{{{tan}^2}α+1}}$=1，其中α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴tanα＞0，且tan²α+1＞tanα，
故椭圆E的长轴在y轴上．
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{tanα}{tanα+1}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{2}sin2α}$≥$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当α=$\frac{π}{4}$时取等号．
由于椭圆E的离心率e最小时其形状最圆，
∴最圆的椭圆方程：x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
故答案为：D．

点评 本题考查椭圆的标准方程及其简单性质，考查正弦函数的性质，考查计算能力，属于中档题．