Question

6．已知函数f（x）=$\frac{{p{x^2}+1}}{x+q}$是奇函数，且f（2）=$\frac{5}{2}$．
（1）求实数p，q的值；
（2）判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（3）若对任意的t≥1，试比较f（t²-t+1）与f（2t²-t）的大小．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质和条件建立方程关系即可求实数p，q的值；
（2）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在[1，+∞）上的单调性；
（3）根据函数单调性的性质，结合一元二次函数的性质进行比较即可．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴$\frac{{p{{（{-x}）}^2}+1}}{-x+q}=-\frac{{p{x^2}+1}}{x+q}$恒成立，
∴q=0…（1分）
又∵f（2）=$\frac{5}{2}$．∴$\frac{4p+1}{2}=\frac{5}{2}$
∴p=1…（3分）
（2）∵$f（x）=x+\frac{1}{x}$，
任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$（{x_1}+\frac{1}{x_1}）-（{x_2}+\frac{1}{x_2}）=（{x_1}-{x_2}）（1-\frac{1}{{{x_1}•{x_2}}}）=\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}•{x_2}-1）}}{{{x_1}•{x_2}}}$…（6分）
∵1≤x₁＜x₂＜+∞
∴x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞1，∴x₁•x₂-1＞0
∴$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}•{x_2}-1）}}{{{x_1}•{x_2}}}＜0$，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[1，+∞）上为增函数…（8分）
（3）∵y₁=t²-t+1的对称轴为$t=\frac{1}{2}$，
∴y₁=t²-t+1在[1，+∞）上单调递增，∴y₁≥1-1+1=1…（9分）
又∵${y_2}=2{t^2}-t$的对称轴为$t=\frac{1}{2}$，
∵${y_2}=2{t^2}-t=2{（t-\frac{1}{4}）^2}-\frac{1}{8}$在[1，+∞）上单调递增，
∴y₂≥2-1=1…（10分）
又∴${y_2}-{y_1}=（2{t^2}-t）-（{t^2}-t+1）={t^2}-1≥0$，（t≥1）
∴y₂≥y₁，…（12分）
又∵f（x）在（1，+∞）上的单调递增，
∴f（y₂）≥f（y₁）
即f（t²-t+1）≤f（2t²-t）…（13分）

点评 本题主要考查函数解析式的求解，函数单调性的判断和应用，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．