Question

16．（1）已知$f（1+\frac{1}{x}）=\frac{1}{x^2}$-1，求f（x）的解析式．
（2）已知f（x）是二次函数，且满足f（2）=4，f（-3）=4，且f（x）的最小值为2，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）令t=$1+\frac{1}{x}$，t≠1，则x=$\frac{1}{t-1}$，利用换法法，先求出f（t），进而可得f（x）的解析式．
（2）由已知可得f（x）的图象关于直线x=-$\frac{1}{2}$对称，结合f（x）的最小值为2，可设出函数的顶点式方程，求出a值后，可得答案．

解答 解：（1）令t=$1+\frac{1}{x}$，t≠1，则x=$\frac{1}{t-1}$，
∵$f（1+\frac{1}{x}）=\frac{1}{x^2}$-1，
∴$f（t）=\frac{1}{{（\frac{1}{t-1}）}^{2}}-1$=t²-2t，
∴f（x）=x²-2x，x≠1，
（2）∵f（x）是二次函数，且满足f（2）=4，f（-3）=4，
故f（x）的图象关于直线x=-$\frac{1}{2}$对称，
又∵f（x）的最小值为2，
∴设f（x）=a（x+$\frac{1}{2}$）²+2，（a＞0），
则f（2）=a（2+$\frac{1}{2}$）²+2=4，
解得：a=$\frac{8}{25}$，
∴f（x）=$\frac{8}{25}$（x+$\frac{1}{2}$）²+2=$\frac{8}{25}$x²+$\frac{8}{25}$x+$\frac{52}{25}$

点评 本题考查的知识点是换元法求函数解析式，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．