Question

4．已知⊙O的圆心为原点，与直线3x+4y-15=0相切，⊙M的方程为（x-3）²+（y-4）²=1，过⊙M上任一点P作⊙O的切线PA，切点为A，若直线PA与⊙M的另一交点为Q，当弦PQ最大时，则PA的直线方程为x=3或7x-24y+75=0．

Answer 1

分析 利用⊙O的圆心为原点，与直线3x+4y-15=0相切，求出圆的半径，从而可得⊙O的方程；当直线PA过圆M的圆心（3，4）时，弦PQ最大，从而可设直线PA的方程，利用PA与圆O相切，可得圆心（0，0）到直线PA的距离为3，进而可求直线PA的方程．

解答 解：∵⊙O的圆心为原点，与直线3x+4y-15=0相切
∴圆心到直线的距离等于半径r=3
∴⊙O的方程为x²+y²=9
由题可知当直线PA过圆M的圆心（3，4）时，弦PQ最大
直线PA的斜率不存在时，直线x=3，满足题意；
直线PA的斜率存在时，设直线PA的方程为：y-4=k（x-3）
又因为PA与圆O相切，所以圆心（0，0）到直线PA的距离为3
即$\frac{|-3k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，可得k=$\frac{7}{24}$，
∴直线PA的方程为7x-24y+75=0
综上，直线PA的方程为x=3或7x-24y+75=0

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，利用直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径是解题的关键．